Penggunaan Turunan dalam Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva

Hai sobat MediMatika. Dulu, saat kita duduk di bangku SMP pasti pernah mempelajari tentang persamaan garis lurus. Untuk menentukan persamaan garis lurus itu sendiri terdapat dua buah rumus, tergantung apa yang diketahui. Apakah dua buah titik, ataukah satu titik dengan gradien.

Dalam menentukan persamaan garis singgung kurva, kita akan menggunakan rumus yang kedua. Yaitu rumus yang membutuhkan satu titik dan gradien. Karena, sebuah garis dapat dikatakan menyinggung kurva jika garis tersebut memotong kurva hanya di satu titik, yang kemudian disebut sebagai titik singgung kurva.

Umumnya, soal-soal yang berkaitan dengan garis singgung kurva tidak menyebutkan nilai gradiennya. Lalu, darimana kita akan mendapatkan gradien? Inilah salah satu kegunaan dari turunan, yaitu untuk menentukan nilai gradien garis singgung dari sebuah kurva. Bagaimana bisa? Mari kita simak penjelasan berikut.

Gambar 1

Perhatikan grafik pada Gambar 1 di atas, garis $g$ memotong kurva $y=f\left(x\right)$ di titik $A\left(x_{1},y_{1}\right)$ dan $B\left(x_{2},y_{2}\right)$. Gradien garis $g$ dapat ditentukan dengan rumus: $$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Gambar 2

Apabila titik $B$ digeser hingga mendekati titik $A$ seperti pada Gambar 2, maka $x_{2}$ akan menuju $x_{1}$. Akibatnya, nilai $\Delta x=x_{2}-x_{1}$ akan semakin kecil hingga mendekati nol.

Gambar 3

Kemudian, garis $g$ akan memotong kurva $y=f\left(x\right)$ hanya di satu titik (Gambar 3), yaitu titik $A\left(x_{1},y_{1}\right)$. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa garis yang memotong kurva di satu titik ialah garis singgung. Artinya, garis $g$ dapat disebut sebagai garis singgung kurva $y=f\left(x\right)$ jika nilai $\Delta x$ mendekati nol.

Gradien garis $g$ yang menyinggung kurva $y=f\left(x\right)$ di titik $A\left(x_{1},y_{1}\right)$ diperoleh dengan menggunakan limit untuk $\Delta x$ mendekati nol:
$\begin{align} m&= \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x} \\ &= {f}'\left(x_{1}\right) \end{align}$

Gradien garis singgung kurva $y=f\left(x\right)$ di titik $\left(x_{1},y_{1}\right)$ ialah: $$\begin{align}m={f}’ \left(x_{1}\right)\end{align}$$

Kemudian gradien tersebut dapat langsung digunakan dalam rumus persamaan garis lurus:
$\begin{align} y-y_{1} &= m\left(x-x_{1}\right) \\ y &= m\left(x-x_{1}\right)+y_{1} \end{align}$

Agar lebih memahami penggunaan turunan dalam menentukan gradien garis singgung kurva, mari kita simak beberapa contoh soal berikut:

Contoh Soal No. 1

Tentukan gradien garis singgung kurva $f\left(x\right)=2x^{2}-6x+7$ yang melalui titik $\left(2,3\right)$.

Pembahasan:

Gradien garis singgung kurva $f\left(x\right)=2x^{2}-6x+7$ yang melalui titik $\left(2,3\right)$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus $m={f}’ \left(x_{1}\right)$.
$\begin{align} f\left(x\right) &= 2x^{2}-6x+7 \\ {f}'\left(x\right) &= 4x-6 \\ m &= {f}’ \left(x_{1}\right) \\ &= {f}’ \left(2\right) \\ &= 4\left(2\right)-6 \\ &= 8-6 \\ &= 2 \end{align}$
$\therefore$ gradien garis singgung kurva $f\left(x\right)=2x^{2}-6x+7$ di titik $\left(2,3\right)$ ialah $m=2$

Contoh Soal No. 2

Tentukan persamaan garis singgung kurva $f\left(x\right)=x^{2}-2x-4$ di titik yang berabsis $2$.

Pembahasan:

Gradien garis singgung kurva $f\left(x\right)=x^{2}-2x-4$ di titik yang berabsis $2$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus $m={f}’ \left(x_{1}\right)$.
$\begin{align} f\left(x\right) &= x^{2}-2x-4 \\ {f}'\left(x\right) &= 2x-2 \\ m &= {f}’ \left(x_{1}\right) \\ &= {f}’ \left(2\right) \\ &= 2\left(2\right)-2 \\ &= 4-2 \\ &= 2 \end{align}$
Untuk $x_{1}=2$, nilai $y_{1}$ ialah:
$\begin{align} y &= f\left(x\right) \\ y_{1} &= f\left(x_{1}\right) \\ &= f\left(2\right) \\ &= \left(2\right)^{2}-2\left(2\right)-4 \\ &= 4-4-4 \\ &= -4 \end{align}$
Persamaan garis singgung di titik $\left(2,-4\right)$ dan $m=2$ ialah:
$\begin{align} y-y_{1} &= m\left(x-x_{1}\right) \\ y-\left(-4\right) &= 2\left(x-2\right) \\ y+4 &= 2x-4 \\ y &= 2x-8 \end{align}$
$\therefore$ persamaan garis singgung kurva $f\left(x\right)=x^{2}-2x-4$ di titik yang berabsis $2$ ialah $y=2x-8$