Barisan dan Deret Aritmatika

Hai sobat MediMatika. Melanjutkan pembahasan sebelumnya yaitu tentang barisan dan deret dalam matematika, salah satu dari pembahasannya mencakup tentang barisan dan deret aritmatika. Apa itu barisan aritmatika? Mari kita simak penjelasannya berikut.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika ialah barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Selisih yang tetap itu disebut sebagai beda dan disimbolkan oleh huruf $b$.
Pada barisan aritmatika:
$U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-1},U_{n}$
berlaku:
$b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=\cdots=U_{n}-U_{n-1}$

Rumus Suku ke-$n$ Barisan Aritmatika

Jika diketahui suku pertama dari suatu barisan aritmatika ialah $a$ dan bedanya ialah $b$. Maka:
$\begin{align} U_{1} &= a \\ U_{2} &= a+b \\ U_{3} &= a+2b \\ \vdots \\ U_{n} &= a+\left(n-1\right)b \end{align}$

Rumus suku ke-$n$ dari barisan aritmatika yang memiliki suku pertama $a$ dan beda $b$ ialah: $$U_{n}=a+\left(n-1\right)b$$

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Pada barisan aritmatika yang banyak sukunya ialah ganjil, maka terdapat suku tengah (suku yang berada di tengah). Suku tengah tersebut disimbolkan dengan $U_{t}$. Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-1},U_{n}$ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama $a$, beda $b$, dan $n$ ialah ganjil, maka suku tengahnya adalah:
$\begin{align} U_{t} &= U_{\frac{n+1}{2}} \\ &= a+\left(\frac{n+1}{2}-1\right)b \\ &= a+\frac{\left(n+1-2\right)b}{2} \\ &= \frac{2a+\left(n-1\right)b}{2} \\ &= \frac{a+a+\left(n-1\right)b}{2} \\ &= \frac{a+U_{n}}{2} \end{align}$

Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-1},U_{n}$ adalah barisan aritmatika dengan banyak sukunya ialah ganjil, maka suku tengah dari barisan aritmatika tersebut adalah: $$\begin{align}U_{t}=\frac{a+U_{n}}{2}\end{align}$$ dengan:
$a$ adalah suku pertama
$U_{n}$ adalah suku ke-$n$

Sisipan Barisan Aritmatika

Jika di antara dua suku berurutan pada barisan aritmatika yang memiliki beda $b$ disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru dengan beda ${b}'$, dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Maka, beda barisan aritmatika yang baru ialah:
$\begin{align} {b}' &= \left(a+b\right)-\left(a+k{b}'\right) \\ {b}' &= a+b-a-k{b}' \\ k{b}'+{b}' &= b \\ \left(k+1\right){b}' &= b \\ {b}' &= \frac{b}{k+1} \end{align}$

Jika di antara dua suku berurutan pada barisan aritmatika disisipkan $k$ buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru, maka: $$\begin{align}{b}'=\frac{b}{k+1}\end{align}$$ dengan:
${b}'$ adalah beda barisan aritmatika yang baru
$b$ adalah beda barisan aritmatika semula
$k$ adalah banyaknya bilangan yang disisipkan

Deret Aritmatika

Deret aritmartika ialah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Notasi untuk menyatakan jumlah $n$ suku pertama dari suatu barisan aritmatika ialah $S_{n}$.

Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-2},U_{n-1},U_{n}$ menyatakan barisan aritmatika yang memiliki suku pertama $a$ dan beda $b$, maka deret aritmatikanya dapat dituliskan sebagai:
$\begin{align} S_{n} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n-2}+U_{n-1}+U_{n} \\ S_{n} &= a+\left(a+b\right)+\left(a+2b\right)+\cdots+\left(U_{n}-2b\right)+\left(U_{n}-b\right)+U_{n}\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(1\right) \end{align}$
Kita dapat menuliskan $S_{n}$ tersebut dengan urutan terbalik seperti berikut:
$\begin{align} S_{n} &= U_{n}+\left(U_{n}-b\right)+\left(U_{n}-2b\right)+\cdots+\left(a+2b\right)+\left(a+b\right)+a\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(2\right) \end{align}$
Dengan menjumlahkan persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ diperoleh:
$\begin{align} 2S_{n} &= \left(a+U_{n}\right)+\left(a+U_{n}\right)+\left(a+U_{n}\right)+\cdots+\left(a+U_{n}\right)+\left(a+U_{n}\right)+\left(a+U_{n}\right) \\ 2S_{n} &= n\left(a+U_{n}\right) \\ S_{n} &= \frac{n}{2}\left(a+U_{n}\right) \end{align}$
Diketahui bahwa $U_{n}=a+\left(n-1\right)b$, maka:
$\begin{align} S_{n} &= \frac{n}{2}\left(a+a+\left(n-1\right)b\right) \\ S_{n} &= \frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right) \end{align}$

Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-2},U_{n-1},U_{n}$ adalah barisan aritmatika, maka jumlah $n$ suku pertama dari barisan tersebut adalah: $$\begin{align} S_{n}=\frac{n}{2}\left(a+U_{n}\right) \end{align}$$

atau

$$\begin{align} S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right) \end{align}$$ dengan:
$U_{n}$ adalah suku ke-$n$
$a$ adalah suku pertama
$b$ adalah beda

Dari pengertian jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmatika diperoleh:
$\begin{align} S_{n-1} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n-1} \\ S_{n} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n-1}+U_{n} \\ S_{n} &= S_{n-1}+U_{n} \\ U_{n} &= S_{n}-S_{n-1} \end{align}$

Agar lebih memahami tentang konsep barisan dan deret aritmatika, berikut akan diberikan contoh soal serta pembahasan mengenai barisan dan deret aritmatika.

Contoh Soal No. 1

Supaya barisan $\left(k+1\right),\left(3k+1\right),\left(6k-1\right),\cdots$
merupakan tiga suku barisan aritmatika yang berurutan, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} U_{1} &= \left(k+1\right) \\ U_{2} &= \left(3k+1\right) \\ U_{3} &= \left(6k-1\right) \end{align}$
Syarat barisan aritmatika ialah memiliki selisih dua suku berurutan selalu tetap:
$\begin{align} b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2} \end{align}$
Sehingga:
$\begin{align} \left(3k+1\right)-\left(k+1\right) &= \left(6k-1\right)-\left(3k+1\right) \\ 3k+1-k-1 &= 6k-1-3k-1 \\ 2k &= 3k-2 \\ 2k-3k &= -2 \\ -k &= -2 \\ k &= 2 \end{align}$
$\therefore$ nilai $k$ yang memenuhi ialah $k=2$

Contoh Soal No. 2

Diketahui suku keempat dan ketujuh suatu barisan aritmatika berturut-turut ialah $17$ dan $29$. Tentukan nilai suku ke-$25$ barisan tersebut!

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} U_{4} &= 17 \\ a+3b &= 17 \;\;\;\;\;\;\cdots \left(1\right) \\ U_{7} &= 29 \\ a+6b &= 29 \;\;\;\;\;\;\cdots \left(2\right) \end{align}$
Eliminasi persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$:
$\,\,a+6b=29$
$\begin{align} \frac{a+3b=17}{\;\;\;\;\;\,3b=12}- \end{align}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;b=4$
Substitusi $b=4$ ke persamaan $\left(1\right)$:
$\begin{align} a+3b &= 17 \\ a+3\left(4\right) &= 17 \\ a+12 &= 17 \\ a &= 17-12 \\ a &= 5 \end{align}$
Nilai suku ke-$25$ ialah:
$\begin{align} U_{n} &= a+\left(n-1\right)b \\ U_{25} &= 5+\left(25-1\right)4 \\ &= 5+\left(24\right)4 \\ &= 5+96 \\ &= 101 \end{align}$
$\therefore$ nilai suku ke-$25$ dari barisan tersebut ialah $U_{25}=101$

Contoh Soal No. 3

Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: $5,8,11,\cdots,131$.
Suku tengah barisan tersebut merupakan suku ke ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} a &= 5 \\ b &= 8-5=3 \\ U_{n} &= 131 \end{align}$
Substitusi nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumus $U_{n}$ untuk mendapatkan nilai $n$:
$\begin{align} U_{n} &= 131 \\ a+\left(n-1\right)b &= 131 \\ 5+\left(n-1\right)3 &= 131 \\ 5+3n-3 &= 131 \\ 3n+2 &= 131 \\ 3n &= 131-2 \\ 3n &= 129 \\ n &= \frac{129}{3} \\ n &= 43 \end{align}$
Substitusi nilai $n$ ke rumus $U_{t}$:
$\begin{align} U_{t} &= U_{\frac{n+1}{2}} \\ U_{t} &= U_{\frac{43+1}{2}} \\ U_{t} &= U_{\frac{44}{2}} \\ U_{t} &= U_{22} \\ t &= 22 \end{align}$
$\therefore$ suku tengah barisan tersebut merupakan suku ke-$22$

Contoh Soal No. 4

Diketahui barisan aritmatika: $2,18,34,\cdots$.
Di antara tiap dua suku yang berurutan disisipkan $7$ buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru. Beda barisan aritmatika yang baru adalah ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} k &= 7 \\ b &= 18-2=16 \end{align}$
Untuk mencari beda barisan aritmatika yang baru, dapat digunakan rumus:
$\begin{align} {b}' &= \frac{b}{k+1} \\ {b}' &= \frac{16}{7+1} \\ &= \frac{16}{8} \\ &= 2 \end{align}$
$\therefore$ beda barisan aritmatika yang baru adalah $2$

Contoh Soal No. 5

Seorang peternak ayam petelur mencatat banyak telur yang dihasilkan selama $12$ hari. Setiap hari, banyaknya telur yang dihasilkan bertambah $4$ buah. Jika hari pertama telur yang dihasilkan berjumlah $20$ buah, jumlah seluruh telur selama $12$ hari adalah ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} a &= 20 \\ b &= 4 \\ n &= 12 \end{align}$
Untuk menghitung jumlah seluruh telur, dapat menggunakan rumus deret aritmatika, yaitu:
$\begin{align} S_{n} &= \frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right) \\ S_{12} &= \frac{12}{2}\left(2.20+\left(12-1\right)4\right) \\ &= 6\left(40+\left(11\right)4\right) \\ &= 6\left(40+44\right) \\ &= 6\left(84\right) \\ &= 504 \end{align}$
$\therefore$ jumlah seluruh telur selama $12$ hari adalah $504$