Pengertian Barisan dan Deret dalam Matematika

Hai sobat MediMatika. Barisan dalam ranah matematika umumnya diartikan sebagai sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan yang telah tersusun itu diistilahkan sebagai nilai suku-suku dari suatu barisan. Dimulai dari bilangan urutan pertama/suku pertama hingga urutan ke-$n$/suku ke-$n$.

Notasi untuk menyatakan nilai suku ke-$n$ dari suatu barisan ialah $U_{n}$, dengan $n$ bilangan bulat positif atau bilangan asli. Oleh karena itu, barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi yang domainnya atau daerah asalnya merupakan himpunan bilangan asli:
$\begin{align} U_{n} &= f\left(n\right) \\ n &= \left\{1,2,3,4,5,\cdots\right\} \end{align}$

Jika diketahui suku pertama ialah $U_{1}$, suku kedua ialah $U_{2}$, dan seterusnya hingga suku ke-$n$ atau $U_{n}$, barisan tersebut dapat dituliskan sebagai:
$U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n}$

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Notasi untuk menyatakan jumlah $n$ suku pertama dari suatu barisan ialah $S_{n}$.
$\begin{align} S_{n} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n} \\ S_{n} &= \sum_{i=1}^{n}U_{i} \end{align}$

Berdasarkan polanya, barisan bilangan dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis. Selanjutnya akan kita pelajari tiap jenis dari barisan bilangan tersebut.

1. Barisan Bilangan Asli

Barisan bilangan asli ialah barisan bilangan yang memiliki suku pertama $1$ dan suku berikutnya selalu bertambah $1$.
Barisan: $1,2,3,4,5,6,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=n$
Deret: $1+2+3+4+5+6+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

2. Barisan Bilangan Ganjil

Barisan bilangan ganjil ialah barisan bilangan asli yang tidak habis dibagi $2$.
Barisan: $1,3,5,7,9,11,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=2n-1$
Deret: $1+3+5+7+9+11+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=n^{2}$

3. Barisan Bilangan Genap

Barisan bilangan genap ialah barisan bilangan asli yang habis dibagi $2$.
Barisan: $2,4,6,8,10,12,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=2n$
Deret: $2+4+6+8+10+12+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=n^{2}+n$

4. Barisan Bilangan Persegi (Kuadrat)

Barisan bilangan persegi ialah barisan bilangan yang membentuk pola persegi atau dalam pengertian lain disebut sebagai barisan bilangan hasil kuadrat dari bilangan asli.
Barisan: $1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},5^{2},6^{2},\cdots=1,4,9,16,25,36,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=n^{2}$
Deret: $1+4+9+16+25+36+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

5. Barisan Bilangan Persegi Panjang

Barisan bilangan persegi panjang ialah barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang atau dalam pengertian lain disebut sebagai barisan bilangan hasil kali dua buah bilangan asli yang berselisih $1$.
Barisan: $1.2,2.3,3.4,4.5,5.6,6.7,\cdots=2,6,12,20,30,42,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=n\left(n+1\right)$
Deret: $2+6+12+20+30+42+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$

6. Barisan Bilangan Segitiga

Barisan bilangan segitiga ialah barisan bilangan yang membentuk pola segitiga.
Barisan: $1,3,6,10,15,21,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$
Deret: $1+3+6+10+15+21+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$

7. Barisan Bilangan Segitiga Pascal

Barisan bilangan segitiga pascal ialah barisan bilangan yang didapat dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dari setiap baris pada segitiga pascal.
Barisan: $1,2,4,8,16,32,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=2^{n-1}$

8. Barisan Bilangan Kubus (Kubik)

Barisan bilangan kubus ialah barisan bilangan yang membentuk pola kubus atau dalam pengertian lain disebut sebagai barisan bilangan hasil pangkat tiga dari bilangan asli.
Barisan: $1^{3},2^{3},3^{3},4^{3},5^{3},6^{3},\cdots=1,8,27,64,125,216,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=n^{3}$
Deret: $1+8+27+64+125+216+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^{2}$

9. Barisan Bilangan Balok

Barisan bilangan balok ialah barisan bilangan yang membentuk pola balok atau dalam pengertian lain disebut sebagai barisan bilangan hasil kali tiga buah bilangan asli yang berselisih $1$.
Barisan: $1.2.3,2.3.4,3.4.5,4.5.6,5.6.7,6.7.8,\cdots=6,24,60,120,210,336,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$
Deret: $6+24+60+120+210+336+\cdots$
Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_{n}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$

10. Barisan Bilangan Fibonacci

Barisan bilangan Fibonacci ialah barisan bilangan yang memiliki dua suku awal yaitu $1$ dan $1$. Suku ke-$3$ merupakan hasil penjumlahan suku ke-$1$ dan ke-$2$, suku ke-$4$ merupakan hasil penjumlahan suku ke-$2$ dan ke-$3$, begitu seterusnya.
Barisan: $1,1,2,3,5,8,\cdots$
Rumus suku ke-$n$: $U_{n}=U_{n-1}+U_{n-2}$

11. Barisan Aritmatika

12. Barisan Geometri

Khusus untuk barisan aritmatika dan geometri, akan dibahas secara rinci pada postingan berikut ini:
1. Barisan dan Deret Aritmatika
2. Barisan dan Deret Geometri

Demikianlah tadi sekelumit penjelasan tentang barisan dan deret dalam konteks matematika. Agar lebih memahami konsep rumus dari beberapa jenis barisan dan deret tersebut, berikut akan diberikan contoh soal yang disertai pembahasannya

Contoh Soal No. 1

Tentukan nilai suku ke-$5$ dan suku ke-$7$ dari suatu barisan dengan rumus suku ke-$n$ ialah $U_{n}=n^{2}-2n$.

Pembahasan:

Suku ke-$n$ barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus $U_{n}=n^{2}-2n$.
Nilai suku ke-$5$ ialah:
$\begin{align} U_{5} &= 5^{2}-2.5 \\ &= 25-10 \\ &= 15 \end{align}$
Nilai suku ke-$7$ ialah:
$\begin{align} U_{7} &= 7^{2}-2.7 \\ &= 49-14 \\ &= 35 \end{align}$
$\therefore$ nilai suku ke-$5$ dan suku ke-$7$ dari barisan tersebut berturut-turut ialah $U_{5}=15$ dan $U_{7}=35$

Contoh Soal No. 2

Tentukan nilai suku ke-$3$ dari barisan bilangan yang suku-sukunya dinyatakan oleh relasi rekursi $U_{n+1}=U_{n}+2$ dengan $U_{1}=3$.

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} U_{n+1} &= U_{n}+2 \\ U_{1} &= 3 \end{align}$
Untuk $n=1$:
$\begin{align} U_{1+1} &= U_{1}+2 \\ U_{2} &= 3+2 \\ &= 5 \end{align}$
Untuk $n=2$:
$\begin{align} U_{2+1} &= U_{2}+2 \\ U_{3} &= 5+2 \\ &= 7 \end{align}$
$\therefore$ nilai suku ke-$3$ dari barisan bilangan tersebut ialah $U_{3}=7$

Contoh Soal No. 3

Tentukan jumlah $3$ suku pertama dari suatu barisan dengan rumus suku ke-$n$ ialah $U_{n}=2n+3$.

Pembahasan:

Jumlah $3$ suku pertama artinya kita akan menjumlahkan nilai suku ke-$1$, ke-$2$, dan ke-$3$. Maka akan dicari terlebih dahulu nilai dari masing-masing suku tersebut.
Nilai suku ke-$1$ ialah:
$\begin{align} U_{1} &= 2.1+3 \\ &= 2+3 \\ &= 5 \end{align}$
Nilai suku ke-$2$ ialah:
$\begin{align} U_{2} &= 2.2+3 \\ &= 4+3 \\ &= 7 \end{align}$
Nilai suku ke-$3$ ialah:
$\begin{align} U_{3} &= 2.3+3 \\ &= 6+3 \\ &= 9 \end{align}$
Jumlah $3$ suku pertama ialah:
$\begin{align} S_{3} &= U_{1}+U_{2}+U_{3} \\ &= 5+7+9 \\ &= 21 \end{align}$
$\therefore$ jumlah $3$ suku pertama dari barisan tersebut ialah $S_{3}=21$