Definisi Turunan Fungsi

Hai sobat MediMatika, kali ini kita akan mempelajari tentang definisi turunan fungsi. Turunan sebagai bagian dari materi kalkulus memiliki peranan penting pada pembelajaran matematika. Banyak sekali penggunaan-penggunaan turunan dalam penyelesaian masalah matematika seperti menentukan gradien garis singgung kurva, nilai optimum, interval fungsi naik/turun dan lain sebagainya. Langsung saja kita simak penjelasannya berikut ini.

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel. Perubahan tersebut dihitung hingga mendekati nol.

Contoh perubahan dalam fisika yang sering dihitung adalah perubahan posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu. Benda bergerak memiliki jarak yang inkonsisten terhadap posisi awal seiring berubahnya waktu. Dengan mengamati posisi awal dan akhir, kita dapat menentukan perubahan rata-rata yang terjadi. Untuk selisih waktu yang mendekati nol, perubahan ini sering disebut sebagai kecepatan sesaat. Dari perubahan-perubahan inilah yang kemudian melahirkan konsep turunan.

Dalam matematika, turunan sering disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi. Berikut ini adalah penjelasan konsep dasar dari turunan.

Apabila pada suatu fungsi $y=f\left(x\right)$ terdefinisi pada selang terbuka $I$ yang memuat semua bilangan riil, dan nilai $x$ berubah dari $x_{1}$ ke $x_{2}$, maka nilai fungsi juga akan berubah dari $y_{1}=f\left(x_{1}\right)$ ke $y_{2}=f\left(x_{2}\right)$. Hal tersebut dapat kita ilustrasikan dalam koordinat kartesius sebagai berikut:

Dari grafik di atas terlihat bahwa perubahan nilai $x$ ialah $\Delta x=x_{2}-x_{1}$ dan perubahan nilai $y$ ialah $\Delta y=y_{2}-y_{1}$ atau $\Delta y=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)$. Kemudian dari persamaan tersebut dapat kita definisikan perubahan rata-rata fungsi $y=f\left(x\right)$ terhadap perubahan nilai $x$ sebagai berikut: $$\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} \end{align}$$

Karena $\Delta x=x_{2}-x_{1}$, maka $x_{2}=x_{1}+\Delta x$.
Kemudian substitusikan $x_{2}=x_{1}+\Delta x$ ke dalam persamaan menjadi: $$\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{1}+\Delta x-x_{1}} \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x} \end{align}$$

Untuk $\Delta x$ yang semakin kecil hingga mendekati nol dapat kita terapkan konsep limit sebagai berikut: $$\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}$$

Persamaan di atas ialah definisi dari turunan pertama fungsi $y=f\left(x\right)$ di titik $x=x_{1}$, yang dapat dituliskan dalam bentuk: $${f}'\left(x_{1}\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}$$

Kemudian secara umum turunan fungsi $y=f\left(x\right)$ dapat dituliskan sebagai: $${f}'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$$ dengan syarat nilai limitnya ada.
Jika ${f}'\left(x\right)$ bisa diperolah, maka $f\left(x\right)$ dikatakan dapat diturunkan (diferentiable).

Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan ${f}'$ (baca: f aksen). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f\left(x\right)$, maka turunan pertama fungsi tersebut adalah ${f}'\left(x\right)$, didefinisikan $\displaystyle {f}'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$ dengan syarat nilai limitnya ada. Jika ${f}'\left(x\right)$ bisa diperoleh, maka $f\left(x\right)$ dikatakan dapat diturunkan (diferentiable).

Beberapa notasi yang sering digunakan untuk menuliskan turunan fungsi $y=f\left(x\right)$ ialah:

• ${y}'$
• ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$
• ${f}'\left(x\right)$
• ${\displaystyle \frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx}}$ atau ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)}$

Sedangkan notasi yang digunakan untuk menyatakan nilai turunan fungsi $y=f\left(x\right)$ untuk $x=a$ ialah:

• ${f}'\left(a\right)$
• ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{x=a}}$
• ${\displaystyle {{\frac {dy}{dx}}(a)}}$

Berikut ini adalah beberapa contoh soal penggunaan definisi turunan fungsi:

Contoh Soal No. 1

Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)=2x+1$

Pembahasan:

Langkah pertama, tentukan fungsi $f\left(x+\Delta x\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= 2x+1 \\ f\left(x+\Delta x\right) &= 2\left(x+\Delta x\right )+1 \\ &= 2x+2\Delta x+1 \end{align}$

Kemudian substitusikan $f\left(x+\Delta x\right)$ ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{\left(2x+2\Delta x+1\right)-\left(2x+1\right)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{2x+2\Delta x+1-2x-1}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}2 \\ &= 2 \end{align}$

$\therefore$ turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=2x+1$ adalah ${f}'\left(x\right)=2$

Contoh Soal No. 2

Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)=3$

Pembahasan:

Langkah pertama, tentukan fungsi $f\left(x+\Delta x\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= 3 \\
f\left(x+\Delta x\right) &= 3 \end{align}$

Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{3-3}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{0}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}0 \\ &= 0 \end{align}$

$\therefore$ turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=3$ adalah ${f}'\left(x\right)=0$

Contoh Soal No. 3

Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)=2x^{2}-3x$

Pembahasan:

Langkah pertama, tentukan fungsi $f\left(x+\Delta x\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= 2x^{2}-3x \\ f\left(x+\Delta x\right) &= 2\left(x+\Delta x\right)^{2}-3\left(x+\Delta x\right) \\ &= 2\left(x^{2}+2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2}\right)-3x-3\Delta x \\ &= 2x^{2}+4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^{2}-3x-3\Delta x \end{align}$

Kemudian substitusikan $f\left(x+\Delta x\right)$ ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{\left(2x^{2}+4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^{2}-3x-3\Delta x\right)-\left(2x^{2}-3x\right)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{2x^{2}+4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^{2}-3x-3\Delta x-2x^{2}+3x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^{2}-3\Delta x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x\left(4x+2\Delta x-3\right)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to0}\left(4x+2\Delta x-3\right) \\ &= 4x+2\left(0\right)-3 \\ &= 4x-3 \end{align}$

$\therefore$ turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=2x^{2}-3x$ adalah ${f}'\left(x\right)=4x-3$

Nah, itulah tadi penjelasan serta contoh soal tentang definisi turunan fungsi menggunakan konsep limit. Agak sedikit panjang dan rumit ya? Jangan khawatir, sudah ada rumus turunan fungsi yang lebih simpel, kok. Awalnya memang kita harus mempelajari konsepnya terlebih dahulu. Untuk mempelajari rumus-rumus turunan fungsi yang sudah disederhanakan, kalian dapat melihatnya pada postingan berikut:
1. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar
2. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri