Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Hai sobat MediMatika, sebelumnya kita telah membuktikan rumus-rumus turunan fungsi aljabar dengan menggunakan definisi turunan fungsi. Selain pada fungsi aljabar, definisi turunan juga berlaku untuk fungsi trigonometri. Dengan cara yang sama kita dapat menentukan rumus-rumus turunan dari fungsi trigonometri. Baiklah, langsung saja kita simak dan pahami cara menentukan rumus turunan fungsi trigonometri berikut.
1. Turunan Fungsi Sinus
Secara umum, fungsi sinus dapat dinyatakan dalam rumus $f\left(x\right)=\sin x$. Untuk mencari turunan fungsi sinus, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \sin x \\
f\left(x+h\right) &= \sin\left(x+h\right)
\end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align}
{f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\sin\left(x+h\right)-\sin x}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\sin x\cos h-\sin x+\cos x\sin h}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\sin x\left(\cos h-1\right)+\cos x\sin h}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\left(\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\right) \\
&= \sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h} \\
&= \left(\sin x\right)\left(0\right)+\left(\cos x\right)\left(1\right) \\
&= \cos x
\end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=\sin x$ ialah ${f}'\left(x\right)=\cos x$
2. Turunan Fungsi Cosinus
Secara umum, fungsi cosinus dapat dituliskan dalam bentuk $f\left(x\right)=\cos x$. Untuk mencari turunan fungsi cosinus, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \cos x \\
f\left(x+h\right) &= \cos\left(x+h\right)
\end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align}
{f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\cos\left(x+h\right)-\cos x}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\cos x\cos h-\cos x-\sin x\sin h}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{\cos x\left(\cos h-1\right)-\sin x\sin h}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\left(\cos x\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\frac{\sin h}{h}\right) \\
&= \cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h} \\
&= \left(\cos x\right)\left(0\right)-\left(\sin x\right)\left(1\right) \\
&= -\sin x
\end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=\cos x$ ialah ${f}'\left(x\right)=-\sin x$
3. Turunan Fungsi Tangen
Bentuk umum fungsi tangen ialah $f\left(x\right)=\tan x$. Dengan menggunakan identitas fungsi tangen diketahui bahwa $\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, sehingga:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \tan x \\
f\left(x\right) &= \frac{\sin x}{\cos x}
\end{align}$
Bentuk fungsi di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus turunan hasil bagi fungsi.
Misal:
$\begin{align}
u\left(x\right)&= \sin x \\
{u}'\left(x\right)&= \cos x \\
v\left(x\right)&= \cos x \\
{v}'\left(x\right)&= -\sin x
\end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam rumus turunan hasil bagi fungsi:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} \\
{f}'\left(x\right)&= \frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}} \\
&= \frac{\left(\cos x\right)\cdot\left(\cos x\right)-\left(\sin x\right)\cdot\left(-\sin x\right)}{\left(\cos x\right)^{2}} \\
&= \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\
&= \frac{1}{\cos^{2}x} \\
&= \sec^{2}x
\end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=\tan x$ ialah ${f}'\left(x\right)=\sec^{2}x$
4. Turunan Fungsi Cotangen
Fungsi cotangen memiliki bentuk umum $f\left(x\right)=\cot x$. Dengan menggunakan identitas fungsi cotangen diketahui bahwa $\displaystyle \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$, sehingga:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \cot x \\
f\left(x\right) &= \frac{\cos x}{\sin x}
\end{align}$
Bentuk fungsi di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus turunan hasil bagi fungsi.
Misal:
$\begin{align}
u\left(x\right)&= \cos x \\
{u}'\left(x\right)&= -\sin x \\
v\left(x\right)&= \sin x \\
{v}'\left(x\right)&= \cos x
\end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam rumus turunan hasil bagi fungsi:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} \\
{f}'\left(x\right)&= \frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}} \\
&= \frac{\left(-\sin x\right)\cdot\left(\sin x\right)-\left(\cos x\right)\cdot\left(\cos x\right)}{\left(\sin x\right)^{2}} \\
&= \frac{-\sin^{2}x-\cos^{2}x}{\sin^{2}x} \\
&= \frac{-\left(\sin^{2}x+\cos^{2}x\right)}{\sin^{2}x} \\
&= \frac{-1}{\sin^{2}x} \\
&= -\csc^{2}x
\end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=\cot x$ ialah ${f}'\left(x\right)=-\csc^{2}x$
5. Turunan Fungsi Secan
Fungsi secan biasanya ditulis dalam bentuk $f\left(x\right)=\sec x$. Dengan menggunakan identitas fungsi secan diketahui bahwa $\displaystyle \sec x=\frac{1}{\cos x}$, sehingga:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \sec x \\
f\left(x\right) &= \frac{1}{\cos x}
\end{align}$
Bentuk fungsi di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus turunan hasil bagi fungsi.
Misal:
$\begin{align}
u\left(x\right)&= 1 \\
{u}'\left(x\right)&= 0 \\
v\left(x\right)&= \cos x \\
{v}'\left(x\right)&= -\sin x
\end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam rumus turunan hasil bagi fungsi:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} \\
{f}'\left(x\right)&= \frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}} \\
&= \frac{\left(0\right)\cdot\left(\cos x\right)-\left(1\right)\cdot\left(-\sin x\right)}{\left(\cos x\right)^{2}} \\
&= \frac{\sin x}{\cos^{2}x} \\
&= \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} \\
&= \sec x\tan x
\end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=\sec x$ ialah ${f}'\left(x\right)= \sec x\tan x$
6. Turunan Fungsi Cosecan
Bentuk umum dari fungsi cosecan ialah $f\left(x\right)=\csc x$. Dengan menggunakan identitas fungsi cosecan diketahui bahwa $\displaystyle \csc x=\frac{1}{\sin x}$, sehingga:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \csc x \\
f\left(x\right) &= \frac{1}{\sin x}
\end{align}$
Bentuk fungsi di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus turunan hasil bagi fungsi.
Misal:
$\begin{align}
u\left(x\right)&= 1 \\
{u}'\left(x\right)&= 0 \\
v\left(x\right)&= \sin x \\
{v}'\left(x\right)&= \cos x
\end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam rumus turunan hasil bagi fungsi:
$\begin{align}
f\left(x\right) &= \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} \\
{f}'\left(x\right)&= \frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}} \\
&= \frac{\left(0\right)\cdot\left(\sin x\right)-\left(1\right)\cdot\left(\cos x\right)}{\left(\sin x\right)^{2}} \\
&= \frac{-\cos x}{\sin^{2}x} \\
&= \frac{-1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} \\
&= -\csc x\cot x
\end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=\csc x$ ialah ${f}'\left(x\right)= -\csc x\cot x$
7. Turunan Fungsi Komposisi Trigonometri
Fungsi komposisi trigonometri memiliki berbagai macam bentuk. Salah satu diantaranya ialah fungsi yang berbentuk $f\left(x\right)=\sin^{n}\left(u\left(x\right)\right)$. Fungsi komposisi tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan rantai.
Misal:
$\begin{align}
v\left(x\right)&= \sin\left(u\left(x\right)\right) \\
\frac{d\left(v\left(x\right)\right)}{d\left(u\left(x\right)\right)}&= \cos\left(u\left(x\right)\right)
\end{align}$
Maka $f\left(x\right)=\sin^{n}\left(u\left(x\right)\right)$ secara sederhana dapat dituliskan menjadi:
$\begin{align}
f\left(x\right)&= v^{n}\left(x\right) \\
\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{d\left(v\left(x\right)\right)}&= nv^{n-1}\left(x\right) \\
&= n\sin^{n-1}\left(u\left(x\right)\right)
\end{align}$
Kemudian, substitusikan ke dalam aturan rantai turunan fungsi komposisi:
$\begin{align}
{f}'\left(x\right)=\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx}&= \frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{d\left(v\left(x\right)\right)}\cdot\frac{d\left(v\left(x\right)\right)}{d\left(u\left(x\right)\right)}\cdot\frac{d\left(u\left(x\right)\right)}{dx} \\
&= n\sin^{n-1}\left(u\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(u\left(x\right)\right)\cdot {u}'\left(x\right)
\end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=\sin^{n}\left(u\left(x\right)\right)$ ialah ${f}'\left(x\right)=n\sin^{n-1}\left(u\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(u\left(x\right)\right)\cdot {u}'\left(x\right)$
Aturan rantai ini juga berlaku untuk fungsi komposisi trigonometri lainnya.
Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri tersebut secara ringkas dapat kita tampilkan dalam tabel berikut:
| $f\left(x\right)$ | ${f}'\left(x\right)$ |
|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^{2}x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^{2}x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |
| $\sin^{n}\left(u\left(x\right)\right)$ | $n\sin^{n-1}\left(u\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(u\left(x\right)\right)\cdot {u}'\left(x\right)$ |
Berikut ini adalah beberapa contoh soal penggunaan rumus-rumus turunan fungsi trigonometri:
Posting Komentar untuk "Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri"