Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Hai sobat MediMatika, sebelumnya kita telah mempelajari definisi turunan fungsi menggunakan konsep limit. Setelah kita memahami konsepnya, kali ini kita akan mencari rumus turunan fungsi aljabar yang lebih sederhana dan praktis. Tentunya dengan tetap mengikuti teorema atau kaidah matematika yang benar. Baiklah, langsung saja kita simak dan pahami beberapa penjelasan berikut.

Turunan pertama fungsi $y=f\left(x\right)$ didefinisikan sebagai: $${f}'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$$

Untuk memudahkan pengoperasian, dimisalkan $\Delta x=h$, maka definisi tersebut dapat kita sederhanakan menjadi: $${f}'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$$

Selanjutnya, kita gunakan definisi tersebut untuk mencari rumus turunan dari berbagai bentuk fungsi aljabar.

1. Turunan Fungsi Konstan

Secara umum, fungsi konstan dapat dinyatakan dalam rumus $f\left(x\right)=c$. Untuk mencari turunan fungsi konstan, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= c \\ f\left(x+h\right) &= c \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{0}{h} \\ &= \lim_{h\to0}0 \\ &= 0 \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=c$ ialah ${f}'\left(x\right)=0$

2. Turunan Fungsi Identitas

Secara umum, fungsi identitas dapat dinyatakan dalam rumus $f\left(x\right)=x$. Untuk mencari turunan fungsi identitas, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= x \\ f\left(x+h\right) &= x+h \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)-x}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{h}{h} \\ &= \lim_{h\to0}1 \\ &= 1 \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=x$ ialah ${f}'\left(x\right)=1$

3. Turunan Fungsi Pangkat

Secara umum, fungsi pangkat dapat dinyatakan dalam rumus $f\left(x\right)=x^{n}$. Untuk mencari turunan fungsi pangkat, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= x^{n} \\ f\left(x+h\right) &= \left(x+h\right)^{n} \\ &= \sum_{i=0}^{n}C_{i}^{n}x^{n-i}h^{i} \\ &= C_{0}^{n}x^{n}+C_{1}^{n}x^{n-1}h+C_{2}^{n}x^{n-2}h^{2}+\cdots+C_{n}^{n}h^{n} \\ &= x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n} \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{\left(x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}\right)-x^{n}}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{h\left(nx^{n-1}+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\left(nx^{n-1}+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}\right) \\ &= nx^{n-1}+0+\cdots+0 \\ &= nx^{n-1} \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=x^{n}$ ialah ${f}'\left(x\right)=nx^{n-1}$

4. Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi

Hasil kali konstanta dengan fungsi umumnya ditulis dalam bentuk $f\left(x\right)=c.u\left(x\right)$. Untuk mencari turunan hasil kali konstanta dengan fungsi, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= c.u\left(x\right) \\ f\left(x+h\right) &= c.u\left(x+h\right) \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{c.u\left(x+h\right)-c.u\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{c\left\{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)\right\}}{h} \\ &= c\lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)}{h} \\ &= c.{u}'\left(x\right) \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=c.u\left(x\right)$ ialah ${f}'\left(x\right)=c.{u}'\left(x\right)$

5. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi

Jumlah dan selisih fungsi secara sederhana dapat diartikan sebagai dua buah fungsi yang dijumlahkan atau dikurangkan. Biasanya ditulis dalam bentuk umum $f\left(x\right)=u\left(x\right)\pm v\left(x\right)$. Untuk mencari turunan jumlah dan selisih fungsi, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= u\left(x\right)\pm v\left(x\right) \\ f\left(x+h\right) &= u\left(x+h\right)\pm v\left(x+h\right) \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{\left\{u\left(x+h\right)\pm v\left(x+h\right)\right\}-\left\{u\left(x\right)\pm v\left(x\right)\right\}}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)}{h}\pm\lim_{h\to0}\frac{v\left(x+h\right)-v\left(x\right)}{h} \\ &= {u}'\left(x\right)\pm{v}'\left(x\right) \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=u\left(x\right)\pm v\left(x\right)$ ialah ${f}'\left(x\right)={u}'\left(x\right)\pm{v}'\left(x\right)$

6. Turunan Hasil Kali Fungsi

Hasil kali dua buah fungsi umumnya ditulis dalam bentuk $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$. Untuk mencari turunan hasil kali fungsi, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= u\left(x\right)\cdot v\left(x\right) \\ f\left(x+h\right) &= u\left(x+h\right)\cdot v\left(x+h\right) \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)\cdot v\left(x+h\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)\cdot v\left(x+h\right)-u\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{\left\{u\left(x+h\right)\cdot v\left(x+h\right)-u\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)\right\}+\left\{u\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right\}}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)\left\{v\left(x+h\right)-v\left(x\right)\right\}}{h}+\lim_{h\to0}\frac{\left\{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)\right\}v\left(x\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to0}u\left(x+h\right)\cdot\lim_{h\to0}\frac{v\left(x+h\right)-v\left(x\right)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)}{h}\cdot\lim_{h\to0}v\left(x\right) \\ &= u\left(x+0\right)\cdot{v}'\left(x\right)+{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right) \\ &= {u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right) \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ ialah ${f}'\left(x\right)={u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)$

7. Turunan Hasil Bagi Fungsi

Hasil bagi dua buah fungsi umumnya ditulis dalam bentuk $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$. Untuk mencari turunan hasil bagi fungsi, langkah pertama tentukan fungsi $f\left(x+h\right)$ terlebih dahulu:
$\begin{align} f\left(x\right) &= \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} \\ f\left(x+h\right) &= \frac{u\left(x+h\right)}{v\left(x+h\right)} \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam definisi turunan fungsi:
$\begin{align} {f}'\left(x\right) &= \lim_{h\to0}\frac{\frac{u\left(x+h\right)}{v\left(x+h\right)}-\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}}{h} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x+h\right)}{h\cdot v\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x+h\right)+u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{h\cdot v\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{\left\{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)\right\}v\left(x\right)-u\left(x\right)\left\{v\left(x+h\right)-v\left(x\right)\right\}}{h\cdot v\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{\left\{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)\right\}v\left(x\right)}{h\cdot v\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)}-\lim_{h\to0}\frac{u\left(x\right)\left\{v\left(x+h\right)-v\left(x\right)\right\}}{h\cdot v\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)} \\ &= \lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)}{h}\cdot\lim_{h\to0}\frac{v\left(x\right)}{v\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)}-\lim_{h\to0}\frac{u\left(x\right)}{v\left(x+h\right)\cdot v\left(x\right)}\cdot\lim_{h\to0}\frac{v\left(x+h\right)-v\left(x\right)}{h} \\ &= {u}'\left(x\right)\cdot\frac{v\left(x\right)}{v\left(x+0\right)\cdot v\left(x\right)}-\frac{u\left(x\right)}{v\left(x+0\right)\cdot v\left(x\right)}\cdot{v}'\left(x\right) \\ &= \frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}}-\frac{u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}} \\ &= \frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}} \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ ialah $\displaystyle{f}'\left(x\right)=\frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}}$

8. Turunan Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi yang berbentuk $f\left(x\right)=u^{n}\left(x\right)$ dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan rantai sebagai berikut:
$\begin{align} {f}'\left(x\right)=\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx}&= \frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{d\left(u\left(x\right)\right)}\cdot\frac{d\left(u\left(x\right)\right)}{dx} \\ &= \frac{d\left(u^{n}\left(x\right)\right)}{d\left(u\left(x\right)\right)}\cdot\frac{d\left(u\left(x\right)\right)}{dx} \\ &= nu^{n-1}\left(x\right)\cdot {u}'\left(x\right) \end{align}$
Jadi, turunan fungsi $f\left(x\right)=u^{n}\left(x\right)$ ialah ${f}'\left(x\right)=nu^{n-1}\left(x\right)\cdot {u}'\left(x\right)$

Rumus-rumus turunan fungsi aljabar tersebut secara ringkas dapat kita tampilkan dalam tabel berikut:

$f\left(x\right)$	${f}'\left(x\right)$
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^{n}$	$nx^{n-1}$
$c.u\left(x\right)$	$c.{u}'\left(x\right)$
$u\left(x\right)\pm v\left(x\right)$	${u}'\left(x\right)\pm{v}'\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$	${u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)$
$\displaystyle\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$	$\displaystyle\frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}}$
$u^{n}\left(x\right)$	$nu^{n-1}\left(x\right)\cdot {u}'\left(x\right)$

Berikut ini adalah beberapa contoh soal penggunaan rumus-rumus turunan fungsi aljabar:

Contoh Soal No. 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)=3x^{2}+6x+2$

Pembahasan:

$\begin{align} f\left(x\right)&= 3x^{2}+6x+2 \\ {f}'\left(x\right)&= 3\left(2\right)x^{2-1}+6+0 \\ &= 6x+6 \end{align}$
$\therefore$ turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=3x^{2}+6x+2$ adalah ${f}'\left(x\right)=6x+6$

Contoh Soal No. 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x-5\right)$

Pembahasan:

Fungsi di atas berbentuk $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$
Misal:
$\begin{align} u\left(x\right)&= 2x+1 \\ {u}'\left(x\right)&= 2 \\ v\left(x\right)&= x-5 \\ {v}'\left(x\right)&= 1 \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam rumus turunan hasil kali fungsi:
$\begin{align} f\left(x\right)&= u\left(x\right)\cdot v\left(x\right) \\ {f}'\left(x\right)&= {u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right) \\ &= \left(2\right)\cdot\left(x-5\right)+\left(2x+1\right)\cdot\left(1\right) \\ &= 2x-10+2x+1 \\ &= 4x-9 \end{align}$
$\therefore$ turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x-5\right)$ adalah ${f}'\left(x\right)=4x-9$

Contoh Soal No. 3

Tentukan turunan pertama dari fungsi $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x+1}$

Pembahasan:

Fungsi di atas berbentuk $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$
Misal:
$\begin{align} u\left(x\right)&= 3x-5 \\ {u}'\left(x\right)&= 3 \\ v\left(x\right)&= x+1 \\ {v}'\left(x\right)&= 1 \end{align}$
Kemudian substitusikan ke dalam rumus turunan hasil bagi fungsi:
$\begin{align} f\left(x\right)&= \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} \\ {f}'\left(x\right)&= \frac{{u}'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot{v}'\left(x\right)}{\left\{v\left(x\right)\right\}^{2}} \\ &= \frac{\left(3\right)\cdot\left(x+1\right)-\left(3x-5\right)\cdot\left(1\right)}{\left(x+1\right)^{2}} \\ &= \frac{3x+3-3x+5}{\left(x+1\right)^{2}} \\ &= \frac{8}{\left(x+1\right)^{2}} \end{align}$
$\therefore$ turunan pertama fungsi $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x+1}$ adalah $\displaystyle {f}'\left(x\right)=\frac{8}{\left(x+1\right)^{2}}$