Barisan dan Deret Geometri

Hai sobat MediMatika. Setelah sebelumnya kita pelajari materi tentang barisan dan deret aritmatika, selanjutnya akan kita pelajari materi tentang barisan dan deret geometri. Materi barisan dan deret geometri sama pentingnya dengan barisan dan deret aritmatika. Banyak sekali permasalahan kehidupan sehari-hari yang penyelesaiannya menerapkan konsep barisan geometri. Sebagai contoh dalam hal memperhitungkan pertumbuhan penduduk suatu kota, menghitung pertumbuhan bakteri, menghitung peluruhan massa zat radioaktif, dan masih banyak lagi.

Lalu, apa sih pengertian dari barisan dan deret geometri itu? Dan apa bedanya antara barisan geometri dengan barisan aritmatika?

Untuk dapat menjawab semua pertanyaan tersebut, mari kita simak penjelasannya berikut ini. Simak sampai habis ya, agar pengetahuan kita bertambah.

Barisan Geometri

Barisan Geometri ialah barisan bilangan yang memiliki perbandingan dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan yang tetap itu disebut sebagai rasio dan disimbolkan oleh huruf $r$.
Pada barisan geometri:
$U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-1},U_{n}$
berlaku:
$\begin{align}r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\cdots=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}\end{align}$

Rumus Suku ke-$n$ Barisan Geometri

Jika diketahui suku pertama dari suatu barisan geometri ialah $a$ dan rasionya ialah $r$, maka:
$\begin{align} U_{1} &= a \\ U_{2} &= ar \\ U_{3} &= ar^{2} \\ \vdots \\ U_{n} &= ar^{n-1} \end{align}$

Rumus suku ke-$n$ dari barisan geometri yang memiliki suku pertama $a$ dan rasio $r$ ialah: $$U_{n}=ar^{n-1}$$

Suku Tengah Barisan Geometri

Pada barisan geometri yang banyak sukunya ialah ganjil, maka terdapat suku tengah (suku yang berada di tengah). Suku tengah tersebut disimbolkan dengan $U_{t}$. Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-1},U_{n}$ adalah barisan geometri dengan suku pertama $a$, rasio $r$, dan $n$ ialah ganjil, maka suku tengahnya adalah:
$\begin{align} U_{t} &= U_{\frac{n+1}{2}} \\ &= ar^{\left(\frac{n+1}{2}-1\right)} \\ &= ar^{\left(\frac{n+1-2}{2}\right)} \\ &= ar^{\left(\frac{n-1}{2}\right)} \\ &= a\sqrt{r^{n-1}} \\ &= \sqrt{a^{2}r^{n-1}} \\ &= \sqrt{a\cdot ar^{n-1}} \\ &= \sqrt{a\cdot U_{n}} \end{align}$

Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-1},U_{n}$ adalah barisan geometri dengan banyak sukunya ialah ganjil, maka suku tengah dari barisan geometri tersebut adalah: $$\begin{align}U_{t}=\sqrt{a\cdot U_{n}}\end{align}$$ dengan:
$a$ adalah suku pertama
$U_{n}$ adalah suku ke-$n$

Sisipan Barisan Geometri

Jika di antara dua suku berurutan pada barisan geometri yang memiliki rasio $r$ disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri yang baru dengan rasio ${r}'$, dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Maka, rasio barisan geometri yang baru ialah:
$\begin{align} {r}' &= \frac{ar}{a\left({r}'\right)^{k}} \\ {r}' &= \frac{r}{\left({r}'\right)^{k}} \\ \left({r}'\right)^{k}\cdot{r}' &= r \\ \left({r}'\right)^{k+1} &= r \\ {r}' &= r^{\left(\frac{1}{k+1}\right)} \end{align}$

Jika di antara dua suku berurutan pada barisan geometri disisipkan $k$ buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri yang baru, maka: $$\begin{align}{r}'=r^{\left(\frac{1}{k+1}\right)}\end{align}$$ dengan:
${r}'$ adalah rasio barisan geometri yang baru
$r$ adalah rasio barisan geometri semula
$k$ adalah banyaknya bilangan yang disisipkan

Deret Geometri

Deret Geometri ialah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Notasi untuk menyatakan jumlah $n$ suku pertama dari suatu barisan geometri ialah $S_{n}$.

Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-2},U_{n-1},U_{n}$ menyatakan barisan geometri yang memiliki suku pertama $a$ dan rasio $r$, maka deret geometrinya dapat dituliskan sebagai:
$\begin{align} S_{n} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n-2}+U_{n-1}+U_{n} \\ S_{n} &= a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-3}+ar^{n-2}+ar^{n-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(1\right) \end{align}$
Jika kedua ruas dikalikan dengan $r$, maka didapatlah:
$\begin{align} rS_{n} &= ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots+ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^{n}\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(2\right) \end{align}$
Dengan mengurangkan persamaan $\left(2\right)$ dengan persamaan $\left(1\right)$ diperoleh:
$\begin{align} rS_{n}-S_{n} &= ar^{n}-a \\ \left(r-1\right)S_{n} &= a\left(r^{n}-1\right) \\ S_{n} &= \frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1};\;\;r\neq 1 \end{align}$

Jika $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n-2},U_{n-1},U_{n}$ adalah barisan geometri, maka jumlah $n$ suku pertama dari barisan tersebut adalah: $$\begin{align} S_{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1};\;\;r\neq 1 \end{align}$$ dengan:
$a$ adalah suku pertama
$r$ adalah rasio

Dari pengertian jumlah $n$ suku pertama pada barisan geometri diperoleh:
$\begin{align} S_{n-1} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n-1} \\ S_{n} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n-1}+U_{n} \\ S_{n} &= S_{n-1}+U_{n} \\ U_{n} &= S_{n}-S_{n-1} \end{align}$

Deret Geometri Tak Hingga

Deret Geometri Tak Hingga ialah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri yang banyak sukunya tak terbatas/tak hingga.

Telah diketahui bahwa rumus jumlah $n$ suku pertama dari suatu barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah:
$\begin{align} S_{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1};\;\;r\neq 1 \end{align}$
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\left(-1\right)$ diperoleh:
$\begin{align} S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r};\;\;r\neq 1 \end{align}$
Untuk $n$ yang tak terhingga, dapat digunakan konsep limit untuk $n\to\infty$, maka:
$\begin{align} \lim_{n\to\infty}S_{n} &= \lim_{n\to\infty}\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{a-ar^{n}}{1-r} \end{align}$
$\begin{align} &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a}{1-r}-\frac{ar^{n}}{1-r}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r}-\lim_{n\to\infty}\frac{ar^{n}}{1-r} \\ \lim_{n\to\infty}S_{n} &= \frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\lim_{n\to\infty}r^{n} \end{align}$

Ada dan tidaknya nilai $\begin{align}\lim_{n\to\infty}S_{n}\end{align}$ tergantung dari ada dan tidaknya nilai $\begin{align}\lim_{n\to\infty}r^{n}\end{align}$.

Untuk $-1<r<1$ nilai dari $\begin{align}\lim_{n\to\infty}r^{n}\end{align}$ semakin kecil mendekati $0$, sehingga:
$\begin{align} \lim_{n\to\infty}S_{n} &= \frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\lim_{n\to\infty}r^{n} \\ &= \frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\times 0 \\ &= \frac{a}{1-r} \end{align}$
Terlihat bahwa deret geometri tak hingga-nya memiliki limit jumlah (konvergen), dan selanjutnya dilambangkan sebagai $S_{\infty}$.

Untuk $r\leq -1$ atau $r\geq 1$ nilai dari $\begin{align}\lim_{n\to\infty}r^{n}\end{align}$ tidak memiliki pendekatan yang pasti, sehingga deret geometri tak hingga-nya tidak memiliki limit jumlah (divergen).

Jika $-1<r<1$, maka deret geometri tak hingga memiliki limit jumlah (konvergen), dengan rumus: $$\begin{align} \lim_{n\to\infty}S_{n}=S_{\infty}=\frac{a}{1-r} \end{align}$$ Jika $r\leq -1$ atau $r\geq 1$, maka deret geometri tak hingga tidak memiliki limit jumlah (divergen)

Agar lebih memahami tentang konsep barisan dan deret geometri, berikut akan diberikan contoh soal serta pembahasan mengenai barisan dan deret geometri.

Contoh Soal No. 1

Jika barisan $\left(2k-5\right),\left(k-4\right),\left(10-3k\right)$ membentuk suatu barisan geometri berurutan, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} U_{1} &= \left(2k-5\right) \\ U_{2} &= \left(k-4\right) \\ U_{3} &= \left(10-3k\right) \end{align}$
Syarat barisan geometri ialah memiliki perbandingan dua suku berurutan selalu tetap:
$\begin{align} r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}} \end{align}$
Sehingga:
$\begin{align} \frac{k-4}{2k-5} &= \frac{10-3k}{k-4} \\ \left(k-4\right)^{2} &= \left(2k-5\right)\left(10-3k\right) \\ k^{2}-8k+16 &= -6k^{2}+35k-50 \\ 7k^{2}-43k+66 &= 0 \\ \left(k-3\right)\left(7k-22\right) &= 0 \end{align}$
$\begin{align} \; k=3 \; \vee \; k=\frac{22}{7} \end{align}$
$\therefore$ nilai $k$ yang memenuhi ialah $k=3$ atau $\begin{align}k=\frac{22}{7}\end{align}$

Contoh Soal No. 2

Suku ke-$3$ dan suku ke-$6$ barisan geometri berturut-turut adalah $36$ dan $972$. Nilai suku ke-$5$ dari barisan tersebut adalah ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} U_{3} &= 36 \\ ar^{2} &= 36 \;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \left(1\right) \\ U_{6} &= 972 \\ ar^{5} &= 972 \;\;\;\;\;\;\cdots \left(2\right) \end{align}$
Bagi persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$:
$\begin{align} \frac{ar^{5}}{ar^{2}} &= \frac{972}{36} \\ r^{3} &= 27 \\ r^{3} &= 3^{3} \\ r &= 3 \end{align}$
Substitusi $r=3$ ke persamaan $\left(1\right)$:
$\begin{align} ar^{2} &= 36 \\ a.3^{2} &= 36 \\ 9a &= 36 \\ a &= \frac{36}{9} \\ a &= 4 \end{align}$
Nilai suku ke-$5$ ialah:
$\begin{align} U_{n} &= ar^{n-1} \\ U_{5} &= 4.3^{5-1} \\ &= 4.3^{4} \\ &= 4.81 \\ &= 324 \end{align}$
$\therefore$ nilai suku ke-$5$ dari barisan tersebut ialah $U_{5}=324$

Contoh Soal No. 3

Diketahui barisan geometri sebagai berikut: $2,6,18,\cdots,13122$.
Suku tengah barisan tersebut merupakan suku ke ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} a &= 2 \\ r &= \frac{6}{2}=3 \\ U_{n} &= 13122 \end{align}$
Substitusi nilai $a$ dan $r$ ke dalam rumus $U_{n}$ untuk mendapatkan nilai $n$:
$\begin{align} U_{n} &= 13122 \\ ar^{n-1} &= 13122 \\ 2 \cdot 3^{n-1} &= 13122 \\ 2 \cdot \frac{3^{n}}{3} &= 13122 \\ \frac{3^{n}}{3} &= 6561 \\ \frac{3^{n}}{3} &= 3^{8} \\ 3^{n} &= 3^{9} \\ n &= 9 \end{align}$
Substitusi nilai $n$ ke rumus $U_{t}$:
$\begin{align} U_{t} &= U_{\frac{n+1}{2}} \\ U_{t} &= U_{\frac{9+1}{2}} \\ U_{t} &= U_{\frac{10}{2}} \\ U_{t} &= U_{5} \\ t &= 5 \end{align}$
$\therefore$ suku tengah barisan tersebut merupakan suku ke-$5$

Contoh Soal No. 4

Diketahui barisan geometri: $1,32,1024,\cdots$.
Di antara tiap dua suku yang berurutan disisipkan $4$ buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri yang baru. Rasio barisan geometri yang baru adalah ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} k &= 4 \\ r &= \frac{32}{1}=32 \end{align}$
Untuk mencari rasio barisan geometri yang baru, dapat digunakan rumus:
$\begin{align} {r}' &= r^{\left(\frac{1}{k+1}\right)} \\ {r}' &= 32^{\left(\frac{1}{4+1}\right)} \\ &= 2^{5\left(\frac{1}{5}\right)} \\ &= 2 \end{align}$
$\therefore$ rasio barisan geometri yang baru adalah $2$

Contoh Soal No. 5

Della bertugas menyediakan bunga untuk menghias ruangan. Di dalam ruangan terdapat $7$ buah meja yang harus dihias dengan rangkaian bunga. Rangkaian bunga pada meja pertama memuat $3$ kuntum mawar. Banyak kuntum mawar di meja berikutnya selalu dua kali lebih banyak dari sebelumnya. Banyak kuntum mawar yang diperlukan adalah ....

Pembahasan:

Dari soal di atas, diketahui bahwa:
$\begin{align} a &= 3 \\ r &= 2 \\ n &= 7 \end{align}$
Untuk menghitung jumlah kuntum mawar, dapat menggunakan rumus deret geometri, yaitu:
$\begin{align} S_{n} &= \frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} \\ S_{7} &= \frac{3\left(2^{7}-1\right)}{2-1} \\ &= \frac{3\left(128-1\right)}{1} \\ &= 3\left(127\right) \\ &= 381 \end{align}$
$\therefore$ banyak kuntum mawar yang diperlukan adalah $381$