Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA Tahun 2014 (Kode 523)

Hai sobat MediMatika. Pada kesempatan kali ini, situs kesayangan kalian akan memberikan pembahasan tentang soal-soal SBMPTN Matematika IPA. Hal ini kami anggap penting karena dengan adanya pembahasan ini diharapkan dapat membantu kalian dalam mempersiapkan diri untuk menghadapi tes masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN). Soal yang dibahas pada postingan kali ini yaitu Soal SBMPTN Matematika IPA Tahun 2014 (Kode 523). Baiklah langsung saja menuju ke pembahasan.

Soal No. 1

Diberikan limas $T.ABC$. Misalkan $u=\overrightarrow{TA}$, $v=\overrightarrow{TB}$, $w=\overrightarrow{TC}$. Jika $P$ adalah titik berat $\Delta ABC$, maka $\overrightarrow{TP}=$ ....

(A) $\begin{align}\frac{1}{3}\left(u+v+w\right)\end{align}$

(B) $\begin{align}\frac{1}{2}\left(u+v+w\right)\end{align}$

(C) $\begin{align}\frac{2}{3}\left(u+v+w\right)\end{align}$

(D) $\begin{align}\frac{3}{4}\left(u+v+w\right)\end{align}$

(E) $\begin{align}u+v+w\end{align}$

Pembahasan:

Pertama-tama dapat diilustrasikan limas $T.ABC$ sebagai berikut dengan $P$ adalah titik berat $\Delta ABC$.

Pada ilustrasi berikutnya $AD$ merupakan garis berat $\Delta ABC$ sehingga $BD:DC=1:1$, dan $\begin{align}\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\end{align}$. Dengan berfokus pada $\Delta TBC$, kita dapat menentukan $\overrightarrow{TD}$.

$\begin{align} \overrightarrow{TD} &= \frac{1.\overrightarrow{v}+1.\overrightarrow{w}}{1+1} \\ &= \frac{\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}{2} \end{align}$

● Menentukan $\overrightarrow{AD}$ :
$\begin{align} \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TD} \\ &= -\overrightarrow{u}+\left(\frac{\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}{2}\right) \\ &= \frac{-2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}{2} \end{align}$

● Menentukan $\overrightarrow{AP}$ :
$\begin{align} \overrightarrow{AP} &= \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \\ &= \frac{2}{3}\left(\frac{-2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}{2}\right) \\ &= \frac{-2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}{3} \end{align}$

● Menentukan $\overrightarrow{TP}$ :
$\begin{align} \overrightarrow{TP} &= \overrightarrow{TA}+\overrightarrow{AP} \\ &= \overrightarrow{u}+\frac{-2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}{3} \\ &= \frac{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}{3} \\ &= \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right) \end{align}$

Jadi, $\begin{align}\overrightarrow{TP}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)\end{align}$

Jawaban: (A)

Soal No. 2

Banyaknya akar real $f\left(t\right)=t^{9}-t$ adalah ... buah.

(A) $2$

(B) $3$

(C) $4$

(D) $6$

(E) $9$

Pembahasan:

Mencari akar real sama artinya dengan mencari pembuat nol fungsi, maka dapat dimisalkan $f\left(t\right)=0$, sehingga:

$\begin{align} t^{9}-t &= 0 \\ t\left(t^{8}-1\right) &= 0 \\ t\left(t^{4}-1\right)\left(t^{4}+1\right) &= 0 \\ t\left(t^{2}-1\right)\left(t^{2}+1\right)\left(t^{4}+1\right) &= 0 \\ t\left(t-1\right)\left(t+1\right)\left(t^{2}+1\right)\left(t^{4}+1\right) &= 0 \end{align}$

$t=0$ atau $t=1$ atau $t=-1$

Jadi, banyaknya akar real dari $f\left(t\right)=t^{9}-t$ adalah $3$ buah.

Jawaban: (B)

Soal No. 3

Bila $\begin{align}\tan x=-\frac{3}{4}\end{align}$, $\begin{align}\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\end{align}$, maka $\begin{align}\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\end{align}$ ....

(A) $\begin{align}\frac{2\sqrt{3}+3}{10}\end{align}$

(B) $\begin{align}\frac{3\sqrt{3}+3}{10}\end{align}$

(C) $\begin{align}\frac{4\sqrt{3}+3}{10}\end{align}$

(D) $\begin{align}\frac{3\sqrt{3}-3}{10}\end{align}$

(E) $\begin{align}\frac{4\sqrt{3}-3}{10}\end{align}$

Pembahasan:

Diketahui $\begin{align}\tan x=-\frac{3}{4}\end{align}$
Dengan menggunakan teorema pythagoras, dapat ditentukan sisi miring sebagai berikut:

Rentang $x$ adalah $\begin{align}\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\end{align}$ artinya sudut $x$ berada pada kuadran $4$, sehingga $\sin x$ bernilai negatif dan $\cos x$ bernilai positif.

$\begin{align} \sin x &= -\frac{3}{5} \\ \cos x &= \frac{4}{5} \end{align}$

Selanjutnya nilai $\begin{align}\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\end{align}$ dapat dicari dengan menggunakan rumus selisih sinus.

$\begin{align}\sin\left(\alpha-\beta\right) &= \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\end{align}$

$\begin{align} \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right) &= \sin\frac{\pi}{3}\cos x-\cos\frac{\pi}{3}\sin x \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) \\ &= \frac{4}{10}\sqrt{3}+\frac{3}{10} \\ &= \frac{4\sqrt{3}+3}{10} \end{align}$

Jadi, nilai $\begin{align}\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}\end{align}$

Jawaban: (C)

Soal No. 4

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $\left(m-1\right)x^{2}-\left(m+2\right)x-1=0$, maka $\log\left(1+\left(1-\alpha\right)\beta+\alpha\right)$ ada nilainya untuk ....

(A) $m>-1$

(B) $m<1$

(C) $-1<m<1$

(D) $m<-1$ atau $m>1$

(E) $\begin{align}m<-\frac{2}{3}\end{align}$ atau $\begin{align}m>\frac{2}{3}\end{align}$

Pembahasan:

Bentuk $^{a}\log f\left(x\right)$ akan terdefinisi dengan syarat $a>0$, $a\neq1$, dan $f\left(x\right)>0$.

Dari soal $\log\left(1+\left(1-\alpha\right)\beta+\alpha\right)$ terlihat bahwa nilai $a=10$, sehingga syarat terpenuhi untuk $a>0$ dan $a\neq1$.

Syarat berikutnya ialah $f\left(x\right)>0$, artinya:

$\begin{align} 1+\left(1-\alpha\right)\beta+\alpha>0 \\ 1+\beta-\alpha\beta+\alpha>0 \\ 1+\left(\alpha+\beta\right)-\alpha\beta>0 \end{align}$

Persamaan kuadrat $\left(m-1\right)x^{2}-\left(m+2\right)x-1=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, sehingga:

$\begin{align} \alpha+\beta &= -\frac{b}{a} \\ &= -\frac{-\left(m+2\right)}{m-1} \\ &= \frac{m+2}{m-1} \end{align}$

$\begin{align} \alpha\beta &= \frac{c}{a} \\ &= \frac{-1}{m-1} \end{align}$

Substitusi nilai $\left(\alpha+\beta\right)$ dan $\alpha\beta$ ke dalam syarat $f\left(x\right)>0$.

$\begin{align} 1+\left(\alpha+\beta\right)-\alpha\beta>0 \\ 1+\frac{m+2}{m-1}-\frac{-1}{m-1}>0 \\ \frac{m-1}{m-1}+\frac{m+2}{m-1}+\frac{1}{m-1}>0 \\ \frac{2m+2}{m-1}>0 \end{align}$

$m=-1$ atau $m=1$

Uji daerah himpunan penyelesaian didapatlah:

$m<-1$ atau $m>1$

Jawaban: (D)

Soal No. 5

Di antara $20.000$ dan $70.000$, banyak bilangan genap dengan tidak ada digit berulang adalah ....

(A) $3.380$

(B) $4.032$

(C) $7.392$

(D) $10.080$

(E) $24.998$

Pembahasan:

Beberapa hal yang perlu diperhatikan sebelum membentuk susunan bilangan, di antaranya:

• Terdapat $10$ pilihan angka untuk membentuk suatu bilangan, yaitu: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, dan $9$.
• Dalam membentuk bilangan genap syaratnya ialah angka pada satuan harus genap. Ada $5$ pilihan angka yang dapat digunakan yaitu: $0$, $2$, $4$, $6$, dan $8$.
• Bilangannya di antara $20.000$ dan $70.000$, maka ada $5$ pilihan angka yang dapat digunakan untuk menempati puluhan ribu, yaitu: $2$, $3$, $4$, $5$, dan $6$.
• Tidak ada digit berulang artinya tidak boleh ada angka yang terpakai dua kali.

Karena terdapat irisan antara syarat angka pada satuan dan puluhan ribu yang berpengaruh pada jumlah pilihan angka, maka kita dapat membaginya menjadi dua kasus.

Kasus I: Jika angka genap menempati puluhan ribu

(i) Angka untuk menempati puluhan ribu ada $3$ opsi, yaitu: $2$, $4$, dan $6$.
(ii) Angka untuk menempati satuan ada $4$ opsi, karena salah satu angka genap telah terpakai pada puluhan ribu.
(iii) Angka untuk menempati ribuan ada $8$ opsi, karena dua buah angka telah terpakai pada puluhan ribu dan satuan.
(iv) Angka untuk menempati ratusan ada $7$ opsi, karena tiga buah angka telah terpakai pada puluhan ribu, satuan, dan ribuan.
(v) Angka untuk menempati puluhan ada $6$ opsi.

Banyaknya bilangan genap yang terbentuk dari kasus I ialah: $3\times8\times7\times6\times4=4032$

Kasus II: Jika angka ganjil menempati puluhan ribu

(i) Angka untuk menempati puluhan ribu ada $2$ opsi, yaitu: $3$ dan $5$.
(ii) Angka untuk menempati satuan ada $5$ opsi, yaitu: $0$, $2$, $4$, $6$, dan $8$.
(iii) Angka untuk menempati ribuan ada $8$ opsi, karena dua buah angka telah terpakai pada puluhan ribu dan satuan.
(iv) Angka untuk menempati ratusan ada $7$ opsi, karena tiga buah angka telah terpakai pada puluhan ribu, satuan, dan ribuan.
(v) Angka untuk menempati puluhan ada $6$ opsi.

Banyaknya bilangan genap yang terbentuk dari kasus II ialah: $2\times8\times7\times6\times5=3360$

Sehingga total semua bilangan genap yang terbentuk ialah: $4032+3360=7392$

Jawaban: (C)

Soal No. 6

Jika $\begin{align}\lim_{x\to a}\frac{f\left(x^{3}\right)-f\left(a^{3}\right)}{x-a}=-1\end{align}$, maka ${f}'\left(1\right)=$ ....

(A) $-1$

(B) $\begin{align}-\frac{1}{3}\end{align}$

(C) $\begin{align}\frac{1}{3}\end{align}$

(D) $1$

(E) $2$

Pembahasan:

Nilai limit jika disubstitusi langsung ialah:

$\begin{align} \lim_{x\to a}\frac{f\left(x^{3}\right)-f\left(a^{3}\right)}{x-a} &= \frac{f\left(a^{3}\right)-f\left(a^{3}\right)}{a-a} \\ &= \frac{0}{0} \end{align}$

Karena hasil limit merupakan Bentuk Tak Tentu (BTT), maka dapat digunakan alternatif penyelesaian Dalil L'Hôpital.

$\begin{align} \lim_{x\to a}\frac{f\left(x^{3}\right)-f\left(a^{3}\right)}{x-a} &= \lim_{x\to a}\frac{{f}'\left(x^{3}\right).3x^{2}-0}{1-0} \\ -1 &= 3a^{2}.{f}'\left(a^{3}\right) \\ -1 &= 3\left(1\right)^{2}.{f}'\left(1^{3}\right) \\ -1 &= 3.{f}'\left(1\right) \\ -\frac{1}{3} &= {f}'\left(1\right) \\ {f}'\left(1\right) &= -\frac{1}{3} \end{align}$

Jadi, nilai $\begin{align}{f}'\left(1\right)=-\frac{1}{3}\end{align}$

Jawaban: (B)

Soal No. 7

Diketahui $P$ dan $Q$ suatu polinomial. Jika $P\left(x\right)$ berturut-turut memberikan sisa $-1$ dan $5$ apabila dibagi $x-1$ dan dibagi $x+2$ dan $Q\left(x\right)$ berturut-turut memberikan sisa $1$ dan $-2$ apabila dibagi $x+2$ dan dibagi $x-1$, maka $P\left(Q\left(x\right)\right)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa ....

(A) $2x-3$

(B) $2x+3$

(C) $3x+2$

(D) $-3x+2$

(E) $3x-2$

Pembahasan:

Dalam teorema sisa, jika $f\left(x\right)$ dibagi $\left(x-a\right)$ maka sisanya ialah $f\left(a\right)$ sehingga:

$P\left(x\right)$ dibagi $\left(x-1\right)$ sisa $-1$, maka $P\left(1\right)=-1$

$P\left(x\right)$ dibagi $\left(x+2\right)$ sisa $5$, maka $P\left(-2\right)=5$

$Q\left(x\right)$ dibagi $\left(x+2\right)$ sisa $1$, maka $Q\left(-2\right)=1$

$Q\left(x\right)$ dibagi $\left(x-1\right)$ sisa $-2$, maka $Q\left(1\right)=-2$

Dalam konsep pembagian polinomial, berlaku:

$$\begin{align}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)+s\left(x\right)\end{align}$$ dengan:
$f\left(x\right)$ adalah polinomial yang dibagi
$g\left(x\right)$ adalah pembagi
$h\left(x\right)$ adalah hasil bagi
$s\left(x\right)$ adalah sisa pembagian

● Menentukan sisa pembagian $P\left(Q\left(x\right)\right)$ oleh $x^{2}+x-2$

Sisa memiliki derajat maksimum satu lebih rendah dari derajat pembagi. Karena pembagi berderajat $2$, maka sisa berderajat $1$ atau lebih rendah, sehingga persamaan sisanya ialah $s\left(x\right)=ax+b$

Dalam konsep pembagian polinomial dapat ditulis sebagai berikut.

$\begin{align} P\left(Q\left(x\right)\right) &= g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)+s\left(x\right) \\ P\left(Q\left(x\right)\right) &= \left(x^{2}+x-2\right)\cdot h\left(x\right)+\left(ax+b\right) \\ P\left(Q\left(x\right)\right) &= \left(x-1\right)\left(x+2\right)\cdot h\left(x\right)+\left(ax+b\right) \end{align}$

● Untuk $x=1$

$\begin{align} P\left(Q\left(1\right)\right) &= \left(1-1\right)\left(1+2\right)\cdot h\left(1\right)+\left(a.1+b\right) \\ P\left(-2\right) &= 0+\left(a+b\right) \\ 5 &= a+b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(1\right) \end{align}$

● Untuk $x=-2$

$\begin{align} P\left(Q\left(-2\right)\right) &= \left(-2-1\right)\left(-2+2\right)\cdot h\left(-2\right)+\left(a.\left(-2\right)+b\right) \\ P\left(1\right) &= 0+\left(-2a+b\right) \\ -1 &= -2a+b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(2\right) \end{align}$

● Eliminasi persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$:

$\,\,\;\;\;\;a+b=5$
$\begin{align} \frac{-2a+b=-1}{\;\;\;\;\;\,3a=6}- \end{align}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a=2$

● Substitusi $a=2$ ke persamaan $\left(1\right)$:

$\begin{align} a+b &= 5 \\ 2+b &= 5 \\ b &= 5-2 \\ b &= 3 \end{align}$

Persamaan sisa ialah $s\left(x\right)=ax+b$, sehingga $s\left(x\right)=2x+3$

Jadi, sisa pembagian $P\left(Q\left(x\right)\right)$ oleh $x^{2}+x-2$ ialah $2x+3$

Jawaban: (B)

Soal No. 8

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik $\left(0,1\right)$ sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ....

(A) $\left(-2,-3\right)$

(B) $\left(-2,-2\right)$

(C) $\left(-2,0\right)$

(D) $\left(-2,1\right)$

(E) $\left(-2,5\right)$

Pembahasan:

Pada soal diketahui bahwa sumbu simetri parabola ialah garis $x=-2$, sehingga absis titik puncak parabola tersebut ialah $-2$ atau $x_{p}=-2$

● Rumus persamaan parabola yang diketahui titik puncak $\left(x_{p},y_{p}\right)$ ialah:

$\begin{align} y &= a\left(x-x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\ y &= a\left(x+2\right)^{2}+y_{p} \end{align}$

● Parabola melalui titik $\left(0,1\right)$, sehingga:

$\begin{align} y &= a\left(x+2\right)^{2}+y_{p} \\ 1 &= a\left(0+2\right)^{2}+y_{p} \\ 1 &= 4a+y_{p}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(1\right) \end{align}$

● Garis singgung parabola sejajar garis $4x+y=4$, sehingga $m=-4$

● Gradien garis singgung kurva $y=f\left(x\right)$ di titik $\left(x_{1},y_{1}\right)$ ialah $m={f}'\left(x_{1}\right)$

Gradien garis singgung parabola $y=a\left(x+2\right)^{2}+y_{p}$ di titik $\left(0,1\right)$ ialah:

$\begin{align} y &= a\left(x+2\right)^{2}+y_{p} \\ {y}' &= 2a\left(x+2\right) \\ m &= 2a\left(0+2\right) \\ -4 &= 4a \\ a &= -1 \end{align}$

● Substitusi $a=-1$ ke persamaan $\left(1\right)$:

$\begin{align} 1 &= 4a+y_{p} \\ 1 &= 4.\left(-1\right)+y_{p} \\ y_{p} &= 1+4 \\ y_{p} &= 5 \end{align}$

Jadi, titik puncak parabola tersebut adalah $\left(-2,5\right)$

Jawaban: (E)

Soal No. 9

Diberikan balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=AE=4$ dan $BC=3$. Titik $P$ dan $Q$ masing-masing titik tengah $FG$ dan $GH$. Maka tangen sudut bidang diagonal $FHDB$ dan bidang $PQDB$ adalah ....

(A) $\begin{align}\frac{1}{10}\end{align}$

(B) $\begin{align}\frac{3}{10}\end{align}$

(C) $\begin{align}\frac{2}{5}\end{align}$

(D) $\begin{align}\frac{3}{8}\end{align}$

(E) $\begin{align}\frac{7}{16}\end{align}$

Pembahasan:

● Berikut ini ilustrasi balok $ABCD.EFGH$

Titik $R$ adalah proyeksi titik $P$ pada bidang $FHDB$, dan titik $S$ adalah proyeksi titik $R$ pada garis $BD$.

Sudut yang dibentuk oleh bidang $FHDB$ dan bidang $PQDB$ adalah $\angle PSR=\theta$

● Menentukan panjang $PR$

Panjang $FH=5$ (ditentukan dengan menggunakan teorema pythagoras)

Panjang $PR$ dapat ditentukan dengan menggunakan konsep kesebangunan berikut.

$\begin{align} \frac{FP}{FH} &= \frac{PR}{GH} \\ \frac{\frac{3}{2}}{5} &= \frac{PR}{4} \\ 5.PR &= \frac{3}{2}.4 \\ PR &= \frac{6}{5} \end{align}$

● Menentukan nilai $\tan\theta$

$\begin{align} \tan\theta &= \frac{PR}{RS} \\ &= \frac{\frac{6}{5}}{4} \\ &= \frac{3}{10} \end{align}$

Jadi, tangen sudut bidang diagonal $FHDB$ dan bidang $PQDB$ adalah $\begin{align}\tan\theta=\frac{3}{10}\end{align}$

Jawaban: (B)

Soal No. 10

Jika $A$ adalah matriks berukuran $2\times2$ dan $\begin{bmatrix}x&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}=x^{2}-5x+8$, maka matriks $A$ yang mungkin adalah ....

(A) $\begin{bmatrix}1&-5\\8&0\end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix}1&5\\8&0\end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix}1&8\\-5&0\end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix}1&3\\-8&8\end{bmatrix}$

(E) $\begin{bmatrix}1&-3\\8&8\end{bmatrix}$

Pembahasan:

● Dimisalkan matriks $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

$\begin{align} \begin{bmatrix}x&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix} &= x^{2}-5x+8 \\ \begin{bmatrix}x&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix} &= x^{2}-5x+8 \\ \begin{bmatrix}ax+c&bx+d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix} &= x^{2}-5x+8 \\ ax^{2}+cx+bx+d &= x^{2}-5x+8 \\ ax^{2}+\left(b+c\right)x+d &= x^{2}-5x+8 \end{align}$

● Dengan menggunakan konsep kesamaan ruas kiri dan ruas kanan, didapatlah:

$\begin{align} a &= 1 \\ b+c &= -5 \\ d &= 8 \end{align}$

Maka, matriks $A$ yang mungkin ialah $A=\begin{bmatrix}1&3\\-8&8\end{bmatrix}$

Jawaban: (D)

Soal No. 11

Diberikan deret geometri $U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots$. Jika $U_{5}=48$, rasio deret $-2$, dan $\log U_{1}+\log U_{2}+\log U_{3}+\log U_{4}=6\log2+4\log3$, maka nilai $2U_{3}+3U_{2}$ adalah ....

(A) $4$

(B) $6$

(C) $8$

(D) $12$

(E) $16$

Pembahasan:

Rumus suku ke-$n$ dari barisan geometri adalah $U_{n}=a.r^{n-1}$

Pada soal diketahui bahwa $U_{5}=48$ dan $r=-2$, maka:

$\begin{align} U_{n} &= a.r^{n-1} \\ U_{5} &= a.r^{5-1} \\ 48 &= a.\left(-2\right)^{4} \\ 48 &= 16a \\ a &= 3 \end{align}$

$\begin{align} 2U_{3}+3U_{2} &= 2\left(ar^{2}\right)+3\left(ar\right) \\ &= 2\left(3.\left(-2\right)^{2}\right)+3\left(3.\left(-2\right)\right) \\ &= 24-18 \\ &= 6 \end{align}$

Jadi, nilai $2U_{3}+3U_{2}=6$

Jawaban: (B)

Soal No. 12

Jika $a$ dan $b$ merupakan akar-akar persamaan $^{\left(1+\left|x\right|\right)}\log\left(3x+7\right)=2$, maka $a+b=$ ....

(A) $-2$

(B) $-1$

(C) $2$

(D) $3$

(E) $4$

Pembahasan:

● Konsep dasar

Bentuk $^{a}\log b=c$ dapat diubah menjadi $b=a^{c}$

$\begin{align}\left|x\right|=\begin{cases}x&,\text{untuk }x\geq0\\-x&,\text{untuk }x<0\end{cases}\end{align}$

● Menentukan akar-akar persamaan $^{\left(1+\left|x\right|\right)}\log\left(3x+7\right)=2$

► Untuk $x\geq0$

$\begin{align} ^{\left(1+\left|x\right|\right)}\log\left(3x+7\right) &= 2 \\ ^{\left(1+x\right)}\log\left(3x+7\right) &= 2 \\ \left(3x+7\right) &= \left(1+x\right)^{2} \\ 3x+7 &= 1+2x+x^{2} \\ x^{2}-x-6 &= 0 \\ \left(x-3\right)\left(x+2\right) &= 0 \\ x=3\;\;\vee\;\;x &= -2 \end{align}$

Untuk $x\geq0$, akar persamaan yang memenuhi ialah $x_{1}=3$

► Untuk $x<0$

$\begin{align} ^{\left(1+\left|x\right|\right)}\log\left(3x+7\right) &= 2 \\ ^{\left(1-x\right)}\log\left(3x+7\right) &= 2 \\ \left(3x+7\right) &= \left(1-x\right)^{2} \\ 3x+7 &= 1-2x+x^{2} \\ x^{2}-5x-6 &= 0 \\ \left(x-6\right)\left(x+1\right) &= 0 \\ x=6\;\;\vee\;\;x &= -1 \end{align}$

Untuk $x<0$, akar persamaan yang memenuhi ialah $x_{2}=-1$

$\begin{align} a+b &= x_{1}+x_{2} \\ &= 3+\left(-1\right) \\ &= 2 \end{align}$

Jadi, nilai $a+b=2$

Jawaban: (C)

Soal No. 13

Misalkan $A\left(t\right)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=bx^{2}$, $0\leq x\leq t$.

Jika titik $P\left(x_{0},0\right)$ sehingga $A\left(x_{0}\right):A\left(1\right)=1:8$, maka perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ=$ ....

(A) $2:1$

(B) $3:1$

(C) $6:1$

(D) $8:1$

(E) $9:1$

Pembahasan:

● Menentukan fungsi $A\left(t\right)$

$\begin{align} A\left(t\right) &= \int_{0}^{t}bx^{2}\,dx \\ &= \left[\frac{b}{3}x^{3}\right]^{t}_{0} \\ &= \frac{b}{3}\left(t\right)^{3}-\frac{b}{3}\left(0\right)^{3} \\ &= \frac{b}{3}\left(t\right)^{3} \end{align}$

● Menentukan $x_{0}$

$\begin{align} \frac{A\left(x_{0}\right)}{A\left(1\right)} &= \frac{1}{8} \\ \frac{\frac{b}{3}\left(x_{0}\right)^{3}}{\frac{b}{3}\left(1\right)^{3}} &= \frac{1}{8} \\ \left(x_{0}\right)^{3} &= \frac{1}{8} \\ x_{0} &= \frac{1}{2} \end{align}$

● Menentukan titik $A$, $Q$, dan $D$ yang melalui grafik fungsi $y=bx^{2}$

$\begin{align} A\left(x,y\right) &= A\left(x,bx^{2}\right) \\ &= A\left(-1,b\left(-1\right)^{2}\right) \\ &= A\left(-1,b\right) \end{align}$

$\begin{align} Q\left(x,y\right) &= Q\left(x,bx^{2}\right) \\ &= Q\left(\frac{1}{2},b\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right) \\ &= Q\left(\frac{1}{2},\frac{b}{4}\right) \end{align}$

$\begin{align} D\left(x,y\right) &= D\left(x,bx^{2}\right) \\ &= D\left(1,b\left(1\right)^{2}\right) \\ &= D\left(1,b\right) \end{align}$

● Menentukan perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ$

$\begin{align} \frac{L.ABPQ}{L.DCPQ} &= \frac{\frac{1}{2}\left(AB+PQ\right).BP}{\frac{1}{2}\left(CD+PQ\right).CP} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(b+\frac{b}{4}\right).\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}\left(b+\frac{b}{4}\right).\frac{1}{2}} \\ &= \frac{3}{1} \end{align}$

Jadi, perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ=3:1$

Jawaban: (B)

Soal No. 14

Jika suku pertama, ke-$3$, dan ke-$6$ suatu barisan aritmatika masing-masing adalah $b-a$, $a$, dan $36$ serta jumlah $9$ suku pertama barisan tersebut adalah $180$, maka beda barisan tersebut adalah ....

(A) $18$

(B) $16$

(C) $12$

(D) $9$

(E) $6$

Pembahasan:

$\begin{align} U_{n} &= a+\left(n-1\right)b \\ U_{6} &= a+\left(6-1\right)b \\ 36 &= a+5b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(1\right) \end{align}$

$\begin{align} S_{n} &= \frac{n}{2}\left\{2a+\left(n-1\right)b\right\} \\ S_{9} &= \frac{9}{2}\left\{2a+\left(9-1\right)b\right\} \\ 180 &= \frac{9}{2}\left(2a+8b\right) \\ 180 &= 9\left(a+4b\right) \\ 20 &= a+4b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(2\right) \end{align}$

● Eliminasi persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$:

$\;a+5b=36$
$\begin{align} \frac{a+4b=20}{\;\;\;\;\;\;\;\;b=16}- \end{align}$

Jadi, beda barisan tersebut adalah $16$

Jawaban: (B)

Soal No. 15

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $\left(-2,-1\right)$ dan menyinggung sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ adalah ....

(A) $x+2y+4=0$

(B) $x+y+3=0$

(C) $3x+y+7=0$

(D) $x+3y+5=0$

(E) $2x+y+5=0$

Pembahasan:

Suatu lingkaran yang melalui titik di kuadran IV serta menyinggung sumbu-$x$ dan sumbu-$y$, memiliki titik pusat dengan absis dan ordinat yang sama. Kemudian titik pusat tersebut dimisalkan $\left(p,p\right)$ dan jari-jarinya ialah $r=\left|p\right|$.

● Persamaan lingkaran dengan pusat $\left(p,p\right)$ dan jari-jari $r=\left|p\right|$, ialah:

$\begin{align} \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2} &= r^{2} \\ \left(x-p\right)^{2}+\left(y-p\right)^{2} &= \left|p\right|^{2} \\ \left(x-p\right)^{2}+\left(y-p\right)^{2} &= p^{2} \end{align}$

● Substitusi titik $\left(-2,-1\right)$ ke dalam persamaan lingkaran, sehingga:

$\begin{align} \left(x-p\right)^{2}+\left(y-p\right)^{2} &= p^{2} \\ \left(-2-p\right)^{2}+\left(-1-p\right)^{2} &= p^{2} \\ 4+4p+p^{2}+1+2p+p^{2} &= p^{2} \\ p^{2}+6p+5 &= 0 \\ \left(p+5\right)\left(p+1\right) &= 0 \\ p=-5\;\;\vee\;\;p &= -1 \end{align}$

Maka, pusat lingkarannya ialah $\left(-5,-5\right)$ dan $\left(-1,-1\right)$

● Persamaan lingkaran dengan pusat $\left(-5,-5\right)$ dan $r=\left|-5\right|=5$

$\begin{align} \left(x+5\right)^{2}+\left(y+5\right)^{2} &= \left(5\right)^{2} \\ x^{2}+10x+25+y^{2}+10y+25 &= 25 \\ x^{2}+y^{2}+10x+10y+25 &= 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(1\right) \end{align}$

● Persamaan lingkaran dengan pusat $\left(-1,-1\right)$ dan $r=\left|-1\right|=1$

$\begin{align} \left(x+1\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2} &= \left(1\right)^{2} \\ x^{2}+2x+1+y^{2}+2y+1 &= 1 \\ x^{2}+y^{2}+2x+2y+1 &= 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\left(2\right) \end{align}$

● Eliminasi persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$:

$\;x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0$
$\begin{align} \frac{x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;8x+8y+24=0}- \end{align}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+y+3=0$

Jadi, garis yang melalui titik potong kedua lingkaran tersebut ialah $x+y+3=0$

Jawaban: (B)